Объем тела вращения вокруг оси ох. Вычисление объема тела, образованного вращением. I. Организационный момент

Определение 3. Тело вращения – это тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей фигуру и лежащей с ней в одной плоскости.

Ось вращения может и пересекать фигуру, если это ось симметрии фигуры.

Теорема 2.
, осью
и отрезками прямых
и

вращается вокруг оси
. Тогда объём получающегося тела вращения можно вычислить по формуле

(2)

Доказательство. Для такого тела сечение с абсциссой – это круг радиуса
, значит
и формула (1) даёт требуемый результат.

Если фигура ограничена графиками двух непрерывных функций
и
, и отрезками прямых
и
, причём
и
, то при вращении вокруг оси абсцисс получим тело, объём которого

Пример 3. Вычислить объём тора, полученного вращением круга, ограниченного окружностью

вокруг оси абсцисс.

Решение. Указанный круг снизу ограничен графиком функции
, а сверху –
. Разность квадратов этих функций:

Искомый объём

(графиком подынтегральной функции является верхняя полуокружность, поэтому написанный выше интеграл – это площадь полукруга).

Пример 4. Параболический сегмент с основанием
, и высотой, вращается вокруг основания. Вычислить объём получающегося тела («лимон» Кавальери).

Решение. Параболу расположим как показано на рисунке. Тогда её уравнение
, причем
. Найдём значение параметра:
. Итак, искомый объём:

Теорема 3. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции
, осью
и отрезками прямых
и
, причём
, вращается вокруг оси
. Тогда объём получающегося тела вращения может быть найден по формуле

(3)

Идея доказательства. Разбиваем отрезок
точками

, на части и проводим прямые
. Вся трапеция разложится на полоски, которые можно считать приближенно прямоугольниками с основанием
и высотой
.

Получающийся при вращении такого прямоугольника цилиндр разрежем по образующей и развернём. Получим «почти» параллелепипед с размерами:
,
и
. Его объём
. Итак, для объёма тела вращения будем иметь приближенноё равенство

Для получения точного равенства надо перейти к пределу при
. Написанная выше сумма есть интегральная сумма для функции
, следовательно, в пределе получим интеграл из формулы (3). Теорема доказана.

Замечание 1. В теоремах 2 и 3 условие
можно опустить: формула (2) вообще нечувствительна к знаку
, а в формуле (3) достаточно
заменить на
.

Пример 5. Параболический сегмент (основание
, высота) вращается вокруг высоты. Найти объём получающегося тела.

Решение. Расположим параболу как показано на рисунке. И хотя ось вращения пересекает фигуру, она – ось – является осью симметрии. Поэтому надо рассматривать лишь правую половину сегмента. Уравнение параболы
, причем
, значит
. Имеем для объёма:

Замечание 2. Если криволинейная граница криволинейной трапеции задана параметрическими уравнениями
,
,
и
,
то можно использовать формулы (2) и (3) с заменойна
и
на
при измененииt от
до.

Пример 6. Фигура ограничена первой аркой циклоиды
,
,
, и осью абсцисс. Найти объём тела, полученного вращением этой фигуры вокруг: 1) оси
; 2) оси
.

Решение. 1) Общая формула
В нашем случае:

2) Общая формула
Для нашей фигуры:

Предлагаем студентам самостоятельно провести все вычисления.

Замечание 3. Пусть криволинейный сектор, ограниченный непре-рывной линией
и лучами
,

, вращается вокруг полярной оси. Объём получающегося тела можно вычислить по формуле.

Пример 7. Часть фигуры, ограниченной кардиоидой
, лежащая вне окружности
, вращается вокруг полярной оси. Найти объём тела, которое при этом получается.

Решение. Обе линии, а значит и фигура, которую они ограничивают, симметричны относительно полярной оси. Поэтому необходимо рассматривать лишь ту часть, для которой
. Кривые пересекаются при
и

при
. Далее, фигуру можно рассматривать как разность двух секторов, а значит и объём вычислять как разность двух интегралов. Имеем:

Задачи для самостоятельного решения.

1. Круговой сегмент, основание которого
, высота , вращается вокруг основания. Найти объём тела вращения.

2. Найти объём параболоида вращения, основание которого , а высота равна.

3. Фигура, ограниченная астроидой
,
вращает-ся вокруг оси абсцисс. Найти объём тела, которое получается при этом.

4. Фигура, ограниченная линиями
и
вращается вокруг оси абсцисс. Найти объём тела вращения.

С содержится в промежутке. Таким образом, мы вновь получили лангранжеву форму дополнительного члена. 5. Заключение. В курсовой работе даны определения определенного и несобственного интеграла и его виды, рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла. В частности, формула Валлиса, имеющая историческое значение, как первое представление числа p в виде предела легко вычисляемой...

ределенный интеграл функции типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (Рис. 1). Есть два метода вычисления этой площади или определенного интеграла - метод трапеций (Рис. 2) и метод средних прямоугольников (Рис. 3). Рис. 1. Криволинейная трапеция. Рис. 2. Метод трапеций. Рис. 3. Метод средних прямоугольников. По методам...

N (увеличения числа интеграций) повышается точность приближенного вычисления интегралов Задание на лабораторную работу 1) Написать программы вычисления определенного интеграла методами: средних, правых прямоугольников, трапеции и методом Симпсона. Выполнить интегрирование следующих функций: 1. f(x)=x f(x)=x2 f(x)= x3 f(x)= x4 на отрезке с шагом, 2. f(x)= f(x)= f(x)= ...

... (процедура TABL) и интеграл. 4. Заключение и выводы. Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное. Чтобы максимально приблизиться к достоверному значению интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись расчет. Так же...

Объем тела вращения можно вычислить по формуле :

В формуле перед интегралом обязательно присутствует число . Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой.

Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.

Функция … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболысверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле.

В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси . Это ничего не меняет – подынтегральная функция в формуле возводится в квадрат:, таким образоминтеграл всегда неотрицателен , что весьма логично.

Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:

Как я уже отмечал, интеграл почти всегда получается простой, главное, быть внимательным.

Ответ :

В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы . То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубическиеединицы ? Потому что наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д., это уж, сколько зеленых человечков ваше воображение поместит в летающую тарелку.

Пример 2

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями,,

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Рассмотрим две более сложные задачи, которые тоже часто встречаются на практике.

Пример 3

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями ,,и

Решение : Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями ,,,, не забывая при этом, что уравнениезадает ось:

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами.

Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел .

Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через.

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через.

И, очевидно, разность объемов – в точности объем нашего «бублика».

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

3) Объем искомого тела вращения:

Ответ :

Любопытно, что в данном случае решение можно проверить, используя школьную формулу для вычисления объема усеченного конуса.

Само решение чаще оформляют короче, примерно в таком духе:

Теперь немного отдохнем, и расскажу о геометрических иллюзиях.

У людей часто возникают иллюзии, связанная с объемами, которую подметил еще Перельман (другой) в книге Занимательная геометрия . Посмотрите на плоскую фигуру в прорешанной задаче – она вроде бы невелика по площади, а объем тела вращения составляет чуть более 50 кубических единиц, что кажется слишком большим. Кстати, среднестатистический человек за всю свою жизнь выпивает жидкость объемом с комнату площадью 18 квадратных метров, что, наоборот, кажется слишком маленьким объемом.

Вообще, система образования в СССР действительно была самой лучшей. Та же книга Перельмана, изданная ещё в 1950 году, очень хорошо развивает, как сказал юморист, соображаловку и учит искать оригинальные нестандартные решения проблем. Недавно с большим интересом перечитал некоторые главы, рекомендую, доступно даже для гуманитариев. Нет, не нужно улыбаться, что я предложил беспонтовое времяпровождение, эрудиция и широкий кругозор в общении – отличная штука.

После лирического отступления как раз уместно решить творческое задание:

Пример 4

Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси плоской фигуры, ограниченной линиями,, где.

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что все дела происходят в полосе , иными словами, фактически даны готовые пределы интегрирования. Правильно начертите графики тригонометрических функций, напомню материал урока огеометрических преобразованиях графиков : если аргумент делится на два: , то графики растягиваются по осив два раза. Желательно найти хотя бы 3-4 точкипо тригонометрическим таблицам , чтобы точнее выполнить чертеж. Полное решение и ответ в конце урока. Кстати, задание можно решить рационально и не очень рационально.

Кроме нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла (см. 7.2.3.) важнейшим приложением темы является вычисление объема тела вращения . Материал простой, но читатель должен быть подготовленным: необходимо уметь решать неопределенные интегралы средней сложности и применять формулу Ньютона-Лейбница в определенном интеграле, н ужны также уверенные навыки построения чертежей. Вообще в интегральном исчислении много интересных приложений, с помощью определенного интеграла можно вычислить площадь фигуры, объем тела вращения, длину дуги, площадь поверхности тела и многое другое. Представьте некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Представили? ... Теперь данную фигуру можно ещё и вращать, причем вращать двумя способами:

– вокруг оси абсцисс;

– вокруг оси ординат.

Разберём оба случая. Особенно интересен второй способ вращения, он вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле решение практически такое же, как и в более распространенном вращении вокруг оси абсцисс. Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.

Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси OX

Пример 1

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси .

Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры . То есть, на плоскости XOY необходимо построить фигуру, ограниченную линиями , , при этом не забываем, что уравнение задаёт ось . Чертёж здесь довольно прост:

Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси . В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка с двумя острыми вершинами на оси OX , симметричная относительно оси OX . На самом деле у тела есть математическое название, посмотрите в справочнике.

Как вычислить объем тела вращения? Если тело образовано в результате вращения вокруг оси OX , его мысленно разделяют на параллельные слои малой толщины dx , которые перпендикулярны оси OX . Объём всего тела равен, очевидно, сумме объёмов таких элементарных слоёв. Каждый слой, как круглая долька лимона, - низенький цилиндр высотой dx и с радиусом основания f (x ). Тогда объём одного слоя есть произведение площади основания πf 2 на высоту цилиндра (dx ), или π∙f 2 (x )∙dx . А площадь всего тела вращения есть сумма элементарных объёмов, или соответствующий определённый интеграл. Объем тела вращения можно вычислить по формуле:

.

Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», легко догадаться из выполненного чертежа. Функция … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболы сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле. В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси OX . Это ничего не меняет – функция в формуле возводится в квадрат: f 2 (x ), таким образом, объем тела вращения всегда неотрицателен , что весьма логично. Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:

.

Как мы уже отмечали, интеграл почти всегда получается простой, главное, быть внимательным.

Ответ:

В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы . То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубические единицы ? Потому что это наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д., это уж, сколько зеленых человечков ваше воображение поместит в летающую тарелку.

Пример 2

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями , , .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Пример 3

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями , , и .

Решение: Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями , , , , не забывая при этом, что уравнение x = 0 задает ось OY :

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси OX получается плоский угловатый бублик (шайба с двумя коническими поверхностями).

Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел . Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси OX получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через V 1 .

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси OX , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через V 2 .

Очевидно, что разность объемов, V = V 1 - V 2, - это объем нашего «бублика».

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

3) Объем искомого тела вращения:

Ответ:

Любопытно, что в данном случае решение можно проверить, используя школьную формулу для вычисления объема усеченного конуса.

Само решение чаще оформляют короче, примерно в таком духе:

Тип урока: комбинированный.

Цель урока: научиться вычислять объемы тел вращения с помощью интегралов.

Задачи:

• закрепить умение выделять криволинейные трапеции из ряда геометрических фигур и отработать навык вычислений площадей криволинейных трапеций;
• познакомиться с понятием объемной фигуры;
• научиться вычислять объемы тел вращения;
• способствовать развитию логического мышления, грамотной математической речи, аккуратности при построении чертежей;
• воспитывать интерес к предмету, к оперированию математическими понятиями и образами, воспитать волю, самостоятельность, настойчивость при достижении конечного результата.

Ход урока

I. Организационный момент.

Приветствие группы. Сообщение учащимся целей урока.

Рефлексия. Спокойная мелодия.

– Сегодняшний урок мне бы хотелось начать с притчи. “Жил мудрец, который знал все. Один человек захотел доказать, что мудрец знает не все. Зажав в ладонях бабочку, он спросил: “Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?” А сам думает: “Скажет живая – я ее умертвлю, скажет мертвая – выпущу”. Мудрец, подумав, ответил: “Все в твоих руках”. (Презентация. Слайд )

– Поэтому давайте сегодня плодотворно поработаем, приобретем новый багаж знаний, и полученные умения и навыки будем применять в дальнейшей жизни и в практической деятельности. “Все в Ваших руках”.

II. Повторение ранее изученного материала.

– Давайте вспомним основные моменты ранее изученного материала. Для этого выполним задание “Исключите лишнее слово”. (Слайд.)

(Учащийся выходит к И.Д.с помощью ластика убирает лишнее слово.)

– Правильно “Дифференциал”. Попробуйте оставшиеся слова назвать одним общим словом. (Интегральное исчисление.)

– Давайте вспомним основные этапы и понятия связанные с интегральным исчислением..

“Математическая гроздь”.

Задание. Восстановите пропуски. (Студент выходит и вписывает ручкой необходимые слова.)

– Реферат о применении интегралов мы заслушаем позже.

Работа в тетрадях.

– Формулу Ньютона-Лейбница вывели английский физик Исаака Ньютона (1643–1727) и немецкий философ Готфрида Лейбница (1646–1716). И это не удивительно, ведь математика – язык, на котором говорит сама природа.

– Рассмотрим, как при решении практических заданий используется эта формула.

Пример 1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: Построим на координатной плоскости графики функций . Выделим площадь фигуры, которую надо найти.

III. Изучение нового материала.

– Обратите внимание на экран. Что изображено на первом рисунке? (Слайд) (На рисунке представлена плоская фигура.)

– Что изображено на втором рисунке? Является ли эта фигура плоской? (Слайд) (На рисунке представлена объемная фигура.)

– В космосе, на земле и в повседневной жизни мы встречаемся не только с плоскими фигурами, но и объемными, а как же вычислить объем таких тел? Например объем планеты, каметы, метеорита, и т.д.

– Об объеме задумываются и строя дома, и переливая воду из одного сосуда в другой. Правила и приёмы вычисления объёмов должны были возникать, другое дело, насколько они были точны и обоснованны.

Сообщение студентки. (Тюрина Вера.)

1612 год был для жителей австрийского города Линц, где жил тогда известный астроном Иоганн Кеплер очень урожайным, особенно на виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определить их объёмы. (Слайд 2)

– Таким образом, рассмотренные работы Кеплера положили начало целому потоку исследований, увенчавшихся в последней четверти XVII в. оформлением в трудах И. Ньютона и Г.В. Лейбница дифференциального и интегрального исчисления. Математика переменных величии заняла с этого времени ведущее место в системе математических знаний.

– Вот сегодня мы с вами и займемся такой практической деятельностью, следовательно,

Тема нашего урока: “Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла”. (Слайд)

– Определение тела вращения вы узнаете, выполнив следующее задание.

“Лабиринт”.

Лабиринт (греческое слово) означает ход в подземелье. Лабиринт– запутанная сеть дорожек, ходов, сообщающихся друг с другом помещений.

Но определение “разбилось”, остались подсказки в виде стрелок.

Задание. Найдите выход из запутанного положения и запишите определение.

Слайд. “Карта инструктаж” Вычисление объемов.

При помощи определенного интеграла можно вычислить объем того или иного тела, в частности, тела вращения.

Телом вращения называется тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг ее основания (рис. 1, 2)

Объем тела вращения вычисляется по одной из формул:

1. вокруг оси ОХ.

2. , если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.

Карту инструктаж получает каждый студент. Преподаватель подчеркивает основные моменты.

– Преподаватель объясняет решение примеров на доске.

Рассмотрим отрывок из известной сказки А. С. Пушкина “Сказка о царе Салтане, о сыне его славном и могучем богатыре князе Гвидоне Салтановиче и о прекрасной царевне Лебеде” (Слайд 4):

…..
И привез гонец хмельной
В тот же день приказ такой:
“Царь велит своим боярам,
Времени не тратя даром,
И царицу и приплод
Тайно бросить в бездну вод”.
Делать нечего: бояре,
Потужив о государе
И царице молодой,
В спальню к ней пришли толпой.
Объявили царску волю –
Ей и сыну злую долю,
Прочитали вслух указ,
И царицу в тот же час
В бочку с сыном посадили,
Засмолили, покатили
И пустили в окиян –
Так велел-де царь Салтан.

Какими же должен быть объем бочки, чтобы в ней поместились царица и её сын?

– Рассмотрим следующие задания

1. Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной линиями: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Ответ: 1163 cm 3 .

Найти объем тела, получаемого вращением параболической трапеции, вокруг оси абсцисс y = , x = 4, y = 0.

IV. Закрепление нового материала

Пример 2. Вычислить объем тела, образованного вращением лепестка, вокруг оси абсцисс y = x 2 , y 2 = x.

Построим графики функции. y = x 2 , y 2 = x . График y 2 = x преобразуем к виду y = .

Имеем V = V 1 – V 2 Вычислим объем каждой функции

– Теперь, давайте, рассмотрим башню для радиостанции в Москве на Шаболовке, построенной по проекту замечательного русского инженера, почётного академика В. Г. Шухова. Она состоит из частей – гиперболоидов вращения. Причём, каждый из них изготовлен из прямолинейных металлических стержней, соединяющих соседние окружности (рис.8, 9).

– Рассмотрим задачу.

Найти объем тела, получаемого вращением дуг гиперболы вокруг ее мнимой оси, как показано на рис. 8, где

куб. ед.

Задания по группам. Учащиеся вытягивают жребий с задачами, рисунки выполняют на ватмане, один из представителей группы защищает работу.

1-я группа.

Удар! Удар! Ещё удар!
Летит в ворота мячик – ШАР!
А это– шар арбузный
Зелёный, круглый, вкусный.
Вглядитесь лучше – шар каков!
Он сделан из одних кругов.
Разрежьте на круги арбуз
И их попробуйте на вкус.

Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси ОХ функции, ограниченную

Ошибка! Закладка не определена.

– Скажите, пожалуйста, где мы встречаемся с данной фигурой?

Дом. задание для 1 группы. ЦИЛИНДР (слайд) .

"Цилиндр – что такое?" – спросил я у папы.
Отец рассмеялся: Цилиндр – это шляпа.
Чтобы иметь представление верное,
Цилиндр, скажем так, это банка консервная.
Труба парохода – цилиндр,
Труба на нашей крыше – тоже,

Все трубы на цилиндр похожи.
А я привёл пример такой –
Калейдоскоп любимый мой,
Глаз от него не оторвёшь,
И тоже на цилиндр похож.

– Задание. Домашняя работа составить график функции и вычислить объем.

2-я группа. КОНУС (слайд) .

Сказала мама: А сейчас
Про конус будет мой рассказ.
В высокой шапке звездочёт
Считает звёзды круглый год.
КОНУС – шляпа звездочёта.
Вот какой он. Понял? То-то.
Мама у стола стояла,
В бутылки масло разливала.
– Где воронка? Нет воронки.
Поищи. Не стой в сторонке.
– Мама, с места я не тронусь,
Расскажи ещё про конус.
– Воронка и есть в виде конуса лейка.
Ну-ка, найди мне её поскорей-ка.
Воронку я найти не смог,
Но мама сделала кулёк,
Картон вкруг пальца обкрутила
И ловко скрепкой закрепила.
Масло льётся, мама рада,
Конус вышел то, что надо.

Задание. Вычислить объем тела полученный вращением вокруг оси абсцисс

Дом. задание для 2-й группы. ПИРАМИДА (слайд).

Я видел картину. На этой картине
Стоит ПИРАМИДА в песчаной пустыне.
Всё в пирамиде необычайно,
Какая-то есть в ней загадка и тайна.
А Спасская башня на площади Красной
И детям, и взрослым знакома прекрасно.
Посмотришь на башню – обычная с виду,
А что на вершине у ней? Пирамида!

Задание. Домашняя работа составить график функции и вычислить объем пирамиды

– Объёмы различных тел мы вычисляли опираясь на основную формулу объёмов тел с помощью интеграла.

Это является ещё одним подтверждением того, что определённый интеграл есть некоторый фундамент для изучения математики.

– Ну а теперь давайте немного отдохнем.

Найди пару.

Математическое домино мелодия играет.

“Дорога та, что сам искал, вовек не позабудется…”

Исследовательская работа. Применение интеграла в экономике и технике.

Тесты для сильных учащихся и математический футбол.

Математический тренажер.

2. Совокупность всех первообразных от данной функции называется

А) неопределенным интегралом,

Б) функцией,

В) дифференциацией.

7. Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

Д/З. Вычислить объемы тел вращения.

Рефлексия.

Приём рефлексии в форме синквейна (пятистишия).

1-я строка – название темы (одно существительное).

2-я строка – описание темы в двух словах, два прилагательных.

3-я строка – описание действия в рамках этой темы тремя словами.

4-я строка – фраза их четырёх слов, показывает отношение к теме (целое предложение).

5-я строка – синоним, который повторяет суть темы.

1. Объем.
2. Определенный интеграл, интегрируемая функция.
3. Строим, вращаем, вычисляем.
4. Тело, полученное вращением криволинейной трапеции (вокруг ее основания).
5. Тело вращения (объемное геометрическое тело).

Вывод (слайд) .

• Определенный интеграл – это некоторый фундамент для изучения математики, которая вносит незаменимый вклад в решение задач практического содержания.
• Тема “Интеграл” ярко демонстрирует связь математики с физикой, биологией, экономикой и техникой.
• Развитие современной науки немыслимо без использования интеграла. В связи с этим, начинать его изучение необходимо в рамках средне специального образования!

Выставление оценок. (С комментированием.)

Великий Омар Хайям – математик, поэт, философ. Он призывает быть хозяевами своей судьбы. Слушаем отрывок из его произведения:

Ты скажешь, эта жизнь – одно мгновенье.
Её цени, в ней черпай вдохновенье.
Как проведёшь её, так и пройдёт.
Не забывай: она – твоё творенье.